Калькулятор корней

Введите число и степень корня — калькулятор выдаст точный результат или десятичное приближение с нужным количеством знаков. Работает с целыми числами, дробями и отрицательными числами (для нечётных корней).

Что такое корень и как он связан со степенью

Корень n-й степени из числа a — это такое число x, что xⁿ = a. Запись: ⁿ√a.

Корень и степень — обратные операции. Если 4² = 16, то √16 = 4. Если 2³ = 8, то ∛8 = 2. В общем виде:

ⁿ√a = a^(1/n)

Именно поэтому корни вычисляются через дробные показатели степени — это один объект, просто записанный по-разному.

Виды корней

Квадратный корень (√) — корень 2-й степени, самый распространённый. Обозначается без указания степени: √9 = 3, √2 ≈ 1,4142.

Кубический корень (∛) — корень 3-й степени. В отличие от квадратного, определён и для отрицательных чисел: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8.

Корень n-й степени — обобщение. Для чётных n из отрицательных чисел корень не определён в вещественных числах (результат — комплексное число). Для нечётных n — определён и отрицателен.

Точные и иррациональные значения

Корни бывают рациональными и иррациональными.

Рациональные — когда результат целое число или дробь: √25 = 5, ∛27 = 3, √(4/9) = 2/3.

Иррациональные — когда результат нельзя записать точной дробью. √2, √3, √5 — бесконечные непериодические десятичные дроби. Их можно только приближать:

• √2 ≈ 1,41421356...
• √3 ≈ 1,73205080...
• √5 ≈ 2,23606797...

Калькулятор показывает оба варианта: точную форму (если корень рационален) и десятичное приближение с нужной точностью.

Таблица часто встречающихся корней

Свойства корней

Несколько правил, которые упрощают вычисления:

ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b
ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
(ⁿ√a)ⁿ = a
ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a

Пример: √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2 ≈ 8,485.

Это позволяет упрощать корни без калькулятора — вынося полные степени из-под знака.

Где встречаются корни

Геометрия. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза равна √(9 + 16) = √25 = 5. Диагональ квадрата со стороной a = a√2. Высота правильного треугольника = (a√3)/2.

Физика. Скорость звука, расчёт периода маятника (T = 2π√(l/g)), кинетическая и потенциальная энергия — корни встречаются повсюду.

Финансы. Среднегеометрическая доходность за несколько периодов вычисляется через корень: если капитал за 3 года вырос в 1,5 раза, среднегодовая доходность = ∛1,5 − 1 ≈ 14,47%.

Статистика. Среднеквадратическое отклонение — буквально корень из дисперсии.