Калькулятор комплексных чисел

Комплексные числа - одна из фундаментальных концепций математики, без которой невозможно решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, рассчитать переменный электрический ток или описать поведение квантовой частицы. Наш калькулятор позволяет мгновенно выполнить любую арифметическую операцию с комплексными числами и увидеть результат в удобной форме.

Что такое комплексное число

Комплексное число z записывается в виде z = a + bi, где:

• a - вещественная часть (Re z)
• b - мнимая часть (Im z)
• i - мнимая единица, для которой выполняется i² = -1

Числа вида 0 + bi (где a = 0) называются чисто мнимыми. Обычные вещественные числа являются частным случаем комплексных при b = 0.

Как выполняются операции

Сложение и вычитание - складываются или вычитаются отдельно вещественные и мнимые части:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Умножение - раскрывается скобками с учётом i² = -1:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i

Деление - числитель и знаменатель умножаются на сопряжённое знаменателя:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

Модуль и аргумент

Кроме алгебраической формы z = a + bi, комплексное число описывают через модуль и аргумент - тригонометрическую (полярную) форму:

Модуль |z| = √(a² + b²) - расстояние от начала координат до точки z на комплексной плоскости.

Аргумент arg(z) = atan2(b, a) - угол между положительной вещественной осью и радиус-вектором точки z (в радианах или градусах).

Тригонометрическая форма: z = |z| · (cos φ + i · sin φ), где φ = arg(z).

Показательная форма (формула Эйлера): z = |z| · e^(iφ)

Примеры расчётов

Пример 1. Умножить z₁ = 3 + 2i на z₂ = 1 - 4i:

z₁ · z₂ = (3·1 - 2·(-4)) + (3·(-4) + 2·1)i = (3 + 8) + (-12 + 2)i = 11 - 10i

Пример 2. Разделить z₁ = 5 + 3i на z₂ = 2 + i:

Сопряжённое z₂: 2 - i. Умножаем числитель и знаменатель:

(5 + 3i)(2 - i) = 10 - 5i + 6i - 3i² = 10 + i + 3 = 13 + i

(2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5

Результат: (13 + i) / 5 = 2.6 + 0.2i

Пример 3. Найти модуль z = 4 + 3i:

Где применяются комплексные числа

Комплексные числа - не абстракция ради абстракции. Они работают в самых прикладных областях:

• Электротехника - анализ цепей переменного тока. Сопротивление, ёмкость и индуктивность описываются комплексными импедансами, что позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.
• Обработка сигналов - преобразование Фурье, фильтрация, модуляция. Спектральный анализ звука и радиосигналов строится на комплексной экспоненте.
• Квантовая механика - волновая функция частицы является комплекснозначной. Вероятность нахождения частицы - квадрат модуля волновой функции.
• Аэродинамика - конформные отображения комплексных функций используются для расчёта обтекания крыла самолёта.
• Теория управления - корни характеристического полинома системы управления - комплексные числа, определяющие устойчивость и качество переходного процесса.
• Компьютерная графика - фракталы (множество Мандельброта, множество Жюлиа) строятся итерацией функции комплексного переменного z → z² + c.

Сопряжённое число

Сопряжённым к z = a + bi называется число z̄ = a - bi (мнимая часть меняет знак). Ключевые свойства:

• z · z̄ = a² + b² = |z|² (произведение числа на сопряжённое всегда вещественное)
• z + z̄ = 2a (сумма числа и сопряжённого всегда вещественная)
• Если z - корень полинома с вещественными коэффициентами, то z̄ тоже корень

Именно сопряжённое число используется при делении комплексных чисел.