Калькулятор интегралов

Интегрирование — одна из двух центральных операций математического анализа, обратная дифференцированию. На практике найти интеграл зачастую сложнее, чем взять производную: даже относительно простые функции могут требовать нетривиальных подстановок, интегрирования по частям или разложения на простые дроби. Калькулятор интегралов с решением берёт на себя символьные вычисления и показывает полный ход работы — полезно как для проверки ответа, так и для разбора метода.

Что умеет калькулятор

Это подробный калькулятор интегралов, который работает с несколькими классами задач.

Неопределённые интегралы — нахождение первообразной функции с точностью до константы C. Введите подынтегральную функцию и переменную интегрирования — получите аналитическое выражение с пошаговым разбором применённых методов.

Определённые интегралы — если нужно вычислить интеграл на конкретном промежутке [a, b], укажите пределы интегрирования. Калькулятор применит формулу Ньютона–Лейбница и даст числовой результат. Это удобно, когда нужно определить интеграл функции, чтобы найти площадь фигуры под графиком или среднее значение на отрезке.

Двойные интегралы — интегрирование функции двух переменных по плоской области. Применяется в задачах на объём тела, массу пластины с переменной плотностью, площадь плоской фигуры в криволинейных координатах.

Как задать интеграл

Функции вводятся в стандартной математической записи:

• Степени: `x^2`, `x^(1/3)`
• Тригонометрия: `sin(x)`, `cos(x)`, `tan(x)`
• Экспонента и логарифм: `exp(x)` или `e^x`, `ln(x)`, `log(x, 10)`
• Корень: `sqrt(x)` или `x^(1/2)`

Для определённого интеграла дополнительно укажите нижний и верхний предел. Для двойного — две пары пределов и порядок интегрирования.

Основные методы интегрирования

Понимание методов помогает читать пошаговое решение и применять его самостоятельно.

Таблица стандартных интегралов

Самый прямой путь. Если функция совпадает с табличной формой или сводится к ней простым преобразованием — достаточно одного шага.

Метод подстановки (замена переменной)

Если в подынтегральном выражении угадывается сложная функция и её производная — вводят новую переменную t = g(x), dx выражают через dt и интегрируют по t.

Пример: ∫ 2x · cos(x²) dx. Пусть t = x², тогда dt = 2x dx.

∫ cos(t) dt = sin(t) + C = sin(x²) + C

Интегрирование по частям

Формула: ∫ u dv = uv − ∫ v du

Применяется, когда произведение двух функций, принадлежащих разным классам (алгебраическая × тригонометрическая, алгебраическая × показательная и т.д.).

Пример: ∫ x · eˣ dx. Пусть u = x, dv = eˣ dx, тогда du = dx, v = eˣ.

∫ x · eˣ dx = x · eˣ − ∫ eˣ dx = x · eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C

Разложение на простые дроби

Для рациональных функций (дробей из многочленов). Знаменатель раскладывают на множители, функцию представляют в виде суммы простых дробей и интегрируют каждую отдельно.

Тригонометрические подстановки

Для выражений вида √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) используют замену x = a·sinθ, x = a·tanθ или x = a/cosθ соответственно.

Геометрический смысл: площади и объёмы фигур

Определённый интеграл имеет наглядный геометрический смысл. Если f(x) ≥ 0 на [a, b], то:

S = ∫[a to b] f(x) dx

• это площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b.

Если нужно найти площадь между двумя кривыми f(x) и g(x), где f(x) ≥ g(x):

S = ∫[a to b] (f(x) − g(x)) dx

Объём тела вращения (метод дисков):

V = π · ∫[a to b] [f(x)]² dx

Двойные интегралы дают объём под поверхностью z = f(x, y) над плоской областью D:

V = ∬[D] f(x, y) dA

Численное интегрирование

Не каждая функция имеет аналитическую первообразную — например, e^(−x²), sin(x)/x или √(1 + x³) не выражаются через элементарные функции. В таких случаях используют численное интегрирование.

Основные методы:

Метод прямоугольников — приближение прямоугольниками под кривой. Прост, но неточен.

Метод трапеций — суммирование площадей трапеций. Точнее прямоугольников при том же числе разбиений.

Метод Симпсона — приближение параболами. Для гладких функций даёт точность порядка O(h⁴) — на несколько порядков лучше трапеций.

Метод Гаусса (квадратуры Гаусса) — оптимальный выбор узлов для минимальной ошибки при заданном числе вычислений функции.